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エッジ検出とは
エッジは物体の外縁を表す線ですが，画像処理では画像を特徴づける線要素という感じでしょうか．
エッジ検出（又はエッジ抽出）は画像処理のなかでも基本的な操作の１つです．
特定の物体を取り出したり，複雑な画像認識，画像理解ための手がかりとして使われます．
エッジは信号において急激な変化がある場合に領域を分割する要素として表現されます．
微分法によるエッジ検出
エッジは信号が変化をする部分ですので，信号の変化分を取り出す微分(Gradient)を用いるのが一般的な方法です．
画像（２次元）の微分によるエッジ検出は以下のようになります． 
【各方向の微分量算出】
  fx = s(i+1,j) - s(i,j)
  fy = s(i,j+1) - s(i,j)
【画像のエッジの強さ】
             ______________
  y(i,j) = √fx*fx + fy*fy
  又は
  y(i,j) = |fx| + |fy|
【画像のエッジの方向】
  θ = tan-1 (fy/fx)
実際に１次元の信号で確認をすると以下のようになります． 
          +-------
         /
        /               【原信号】
       /
------+

        +
       + +              【微分】
------+   +-------
これで分かるように微分によって変化分がわかり，これがエッジとして検出されます．
さて画像に適用する場合実際は処理点と近傍領域によるオペレータを使用してフィルタ処理を行います．
このフィルタ窓の設定により種々のエッジ検出法が提案されています．
手法名微分SobelRoberts
fx 
 +---+---+---+
 | 0 | 0 | 0 |
 +---+---+---+
 | 0 | 1 |-1 |
 +---+---+---+
 | 0 | 0 | 0 |
 +---+---+---+
 +---+---+---+
 |-1 | 0 | 1 |
 +---+---+---+
 |-2 | 0 | 2 |
 +---+---+---+
 |-1 | 0 | 1 |
 +---+---+---+
 +---+---+---+
 | 0 | 0 | 0 |
 +---+---+---+
 | 0 | 1 | 0 |
 +---+---+---+
 | 0 | 0 |-1 |
 +---+---+---+
fy 
 +---+---+---+
 | 0 | 0 | 0 |
 +---+---+---+
 | 0 | 1 | 0 |
 +---+---+---+
 | 0 |-1 | 0 |
 +---+---+---+
 +---+---+---+
 |-1 |-2 |-1 |
 +---+---+---+
 | 0 | 0 | 0 |
 +---+---+---+
 | 1 | 2 | 1 |
 +---+---+---+
 +---+---+---+
 | 0 | 0 | 0 |
 +---+---+---+
 | 0 | 0 | 1 |
 +---+---+---+
 | 0 |-1 | 0 |
 +---+---+---+
 ラプラシアンによるエッジ検出
エッジの強さだけを検出する方法として２次微分をもちいるラプラシアン(Laplacian)があります．
これは次式で示されます．

L(i,j) = x(i.j) * 4 - { x(i-1,j)+x(i+1,j)+x(i,j-1)+x(i,j+1) }

１次元の信号では以下のようになります． 

          +-------
         /
        /               【原信号】
       /
------+

        +
       + +              【１次微分】
------+   +-------

       +                【２次微分】
------+ + +-------
         +
さて画像に適用する場合実際は処理点と近傍領域によるオペレータを使用してフィルタ処理を行います．
手法名(1)上式手法(2)(3)
強さ 
 +---+---+---+
 | 0 |-1 | 0 |
 +---+---+---+
 |-1 | 4 |-1 |
 +---+---+---+
 | 0 |-1 | 0 |
 +---+---+---+
 +---+---+---+
 |-1 |-1 |-1 |
 +---+---+---+
 |-1 | 8 |-1 |
 +---+---+---+
 |-1 |-1 |-1 |
 +---+---+---+
 +---+---+---+
 | 1 |-2 | 1 |
 +---+---+---+
 |-2 | 4 |-2 |
 +---+---+---+
 | 1 |-2 | 1 |
 +---+---+---+
その他
エッジ検出は雑音に非常に弱く，雑音成分までエッジとして検出してしまいます．
このために雑音除去フィルタを前処理としてかけたりしますが，細部信号等が劣化する可能性もあります．
現在では雑音除去をしながらエッジ検出を行う非線形フィルタなどが研究されています．
文献

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